x축과 몇 번 만날까?
이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 의 그래프에서 $y=0$ 인 점, 즉 x절편은 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 실근과 정확히 일치한다. 그래서 그래프와 x축의 교점의 개수는 곧 실근의 개수다.
계수 $a, b, c$ 를 일일이 풀어 보지 않아도, 판별식 $D=b^2-4ac$ 의 부호 하나로 교점이 2개·1개·0개인지 즉시 알 수 있다. 아래 실험실에서 직접 끌어 보며 확인하자.
판별식이 말해 주는 세 가지 경우
그래프의 x절편 = 방정식의 실근
따라서 교점의 개수 = 서로 다른 실근의 개수이고, 이를 결정하는 것이 판별식 $D=b^2-4ac$ 이다. (단, $a\neq 0$, 계수는 실수)
서로 다른 두 실근
그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
중근 (한 실근)
그래프가 x축에 접한다. 접점이 곧 꼭짓점.
서로 다른 두 허근
그래프가 x축과 만나지 않는다. 실근이 없다.
판별식 실험실
$a, b, c$ 슬라이더를 끌면 포물선, x축 교점, 판별식, 그리고 아래 수직선 위의 근이 동시에 바뀝니다. 세 경우 버튼으로 대표 예시를 불러오고, 재생 버튼으로 판별식이 0을 지나는 순간을 관찰해 보세요.
위 그래프의 x절편 ↔ 아래 수직선 위의 실근
풀이가 있는 예제
$y = x^2 - 2x - 3$ 의 그래프와 x축의 교점을 구하여라.
- $D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16 > 0$ → 서로 다른 두 점에서 만남
- $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) = 0$ → $x = 3$ 또는 $x = -1$
- 교점: $(3,\,0)$ 과 $(-1,\,0)$
$y = x^2 - 4x + 4$ 의 그래프와 x축의 위치 관계를 말하여라.
- $D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$ → x축에 접한다
- $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ → 중근 $x = 2$
- 접점: $(2,\,0)$ (= 꼭짓점)
$y = x^2 + 2x + k$ 의 그래프가 x축과 만나지 않도록 하는 상수 $k$ 의 범위를 구하여라.
- 만나지 않음 $\iff D < 0$
- $D = 2^2 - 4\cdot1\cdot k = 4 - 4k < 0$
- $\therefore k > 1$
위 실험실에서 확인하기
5문제 즉시 점검
난이도별 연습 & 무한 연습
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 판별식 $D$ 의 값을 구하여라.
$3x^2 - 2x + 1 = 0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.
$y = x^2 + 6x + 9$ 의 그래프와 x축의 교점의 개수를 구하여라.
$y = x^2 - 2x + k$ 의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 $k$ 의 범위는? (예: k<1)
$y = x^2 + kx + 4$ 의 그래프가 x축에 접하도록 하는 양수 $k$ 의 값을 구하여라.
$y = -2x^2 + 4x + k$ 의 그래프가 x축과 만나지 않도록 하는 $k$ 의 범위는?
직선 $y = 2x + k$ 가 포물선 $y = x^2$ 에 접하도록 하는 $k$ 의 값을 구하여라.
$y = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 3$ 의 그래프가 x축에 접하도록 하는 $k$ 의 값을 구하여라.
무한 연습 — 근의 개수 판정
새 문제를 누를 때마다 계수가 바뀝니다. 판별식의 부호만으로 빠르게 판정해 보세요.
부호 하나가 모든 것을 가른다
$D>0$ 이면 두 점에서 만나고, $D=0$ 이면 접하며, $D<0$ 이면 만나지 않는다.
그래프의 x절편과 방정식의 실근은 언제나 같은 것을 가리킨다.
다음 차시에서는 이 도구로 이차함수의 최대·최소를 다룬다.